Cho f(x) là hàm số liên tục trên R thỏa mãn f(x) + f'(x) = sinx với mọi x và f(0) = 1. Tính e x f ( π ) .
A. e x - 1 2
B. e x + 1 2
C. e x + 3 2
D. π + 1 2
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R thỏa mãn f(1)=1 và ∫ 0 1 f ( x ) d x = 1 3 . Tính tích phân ∫ 0 π 2 sin 2 x . f ' ( sin x ) d x .
A. I = 4 3 .
B. I = 8 3 .
C. I = - 4 3 .
D. I = - 8 3 .
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R có đạo hàm cấp 3 với f’’’(x)=0 và thỏa mãn f ( x ) ' 2018 1 - f ' ' ( x ) = 2 x ( x + 1 ) 2 ( x - 2018 ) 2019 : f ' ' ( x ) , ∀ x ∈ R Hàm số g ( x ) = f ' ( x ) 2019 1 - f ' ' ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1
B.2
C.3
D. 4
Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn f(0) = 1, f'(x) liên tục trên R và ∫ 0 3 f ' ( x ) dx = 9 .Giá trị của f(3) là
A. 6
B. 3
C. 10
D. 9
Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn f(0) = 1, f'(x) liên tục trên R và ∫ 0 3 f ' ( x ) d x = 9 . Giá trị của f(3) là
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn x f ( x ) . f ' ( x ) = f 2 ( x ) - x , ∀ x ∈ ℝ và f(2)=1 .Tích phân bằng
A. 3 2
B. 4 3
C. 2
D. 4
Chọn đáp án C.
Lấy tích phân hai vế trên đoạn [0;2] có
Tích phân từng phần có
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn x f x . f ' x = f 2 x - x , ∀ x ∈ R và f(2)=1 Tích phân ∫ 0 2 f 2 x d x bằng
A. 3 2
B. 4 3
C. 2
D. 4
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R thỏa mãn ∫ 1 9 f ( x ) x d x = 4 , ∫ 0 π 2 f ( sin x ) c o s x d x = 2 . Tích phân ∫ 0 3 f ( x ) d x bằng
A. 8
B. 4
C. 6
D. 10
Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên R và có đạo hàm f'(x) thỏa mãn f ' ( x ) = ( 1 - x ) ( x + 2 ) g ( x ) + 2018 với g ( x ) < 0 , ∀ x ∈ R . Hàm số y = f ( 1 - x ) + 2018 x + 2019 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A . ( 1 ; + ∞ ) .
B . ( 0 ; 3 ) .
C . ( - ∞ ; 3 ) .
D . ( 4 ; + ∞ ) .
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R\ {0; -1} thỏa mãn f(1) =-2ln2 và
\(x\left(x+1\right)f'\left(x\right)+f\left(x\right)=x^2+x\) . Tính f(2)
Dạng: \(....f'\left(x\right)+...f\left(x\right)=...\)
Ý tưởng luôn là đưa về đạo hàm của tổng sau đó lấy nguyên hàm 2 vế.
Thêm bớt sao cho vế trái biến thành: \(u\left(x\right).f'\left(x\right)+u'\left(x\right).f\left(x\right)\) là được
So sánh nó với vế trái đề bài, dư ra \(u'\left(x\right)\) ở trước \(f\left(x\right)\) nên ta chia nó (vế kia vẫn ko quan tâm)
Được: \(\dfrac{u\left(x\right)}{u'\left(x\right)}.f'\left(x\right)+f\left(x\right)\)
So sánh nó với đề bài, vậy ta cần tìm hàm \(u\left(x\right)\) sao cho:
\(\dfrac{u\left(x\right)}{u'\left(x\right)}=x\left(x+1\right)\)
Nhưng để thế này ko lấy nguyên hàm được, phải nghịch đảo 2 vế:
\(\dfrac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)}=\dfrac{1}{x\left(x+1\right)}\)
Giờ thì lấy nguyên hàm: \(\int\dfrac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)}dx=\int\dfrac{dx}{x\left(x+1\right)}\Leftrightarrow ln\left|u\left(x\right)\right|=ln\left|\dfrac{x}{x+1}\right|+C\)
Tới đây suy được \(u\left(x\right)=\dfrac{x}{x+1}\) \(\Rightarrow\) vế trái cần có dạng:
\(\dfrac{x}{x+1}f'\left(x\right)+\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}f\left(x\right)\)
Nhìn vào đây là xong rồi. Bài toán sẽ được giải như sau:
Chia 2 vế giả thiết cho \(\left(x+1\right)^2\):
\(\Rightarrow\dfrac{x}{x+1}f'\left(x\right)+\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}f\left(x\right)=\dfrac{x}{x+1}\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{x}{x+1}+f\left(x\right)\right)'=\dfrac{x}{x+1}\)
Lấy nguyên hàm 2 vế:
\(\Rightarrow\dfrac{x}{x+1}+f\left(x\right)=\int\dfrac{x}{x+1}dx=\int\left(1-\dfrac{1}{x+1}\right)dx=x-ln\left|x+1\right|+C\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=x-\dfrac{x}{x+1}-ln\left|x+1\right|+C=\dfrac{x^2}{x+1}-ln\left|x+1\right|+C\)
Thay \(x=1\)
\(\Rightarrow f\left(1\right)=\dfrac{1}{2}-ln2+C\Rightarrow-2ln2=\dfrac{1}{2}-ln2+C\)
\(\Rightarrow C=-ln2-\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=\dfrac{x^2}{x+1}-ln\left|x+1\right|-ln2-\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow f\left(2\right)=...\)
